Dieses Prüfungsprotokoll stammt von http://www.clackas.de/html/prufungen.html (c) 1999 Christian Lackas Grundstrukturen Protokoll Er: (Begruessung) Hatten Sie den schon ein Vordiplomspruefung? (...) Smalltalk Er: Ja, was ist denn ein Koeper? Ich: Also ein Koerper ist eine alg. Struktur, auf dem eine Mult. und eine Add. definiert ist, dazu gibt es jeweils ein neutrales Element und die add. Gruppe ist eine abel. Gruppe (ANIK usw.) und die mult. Gruppe, also K\{0} ist ebenfalls abelsche Gruppe ... Er: Was kennen Sie denn fuer Koerper? Ich: z.B. die Primkoerper, und alle anderen Koerper sind Oberkoerper davon (laechle, weil der Beweis dazu einer der wenigen ist, die ich kann) Er: Aha, was sind das denn fuer Primkoerper? Ich: Also alle Primkoerper sind isomorph zu Zp oder Q. Er: Ist das denn schwer zu beweisen? Ich: (grins) Nein, man definiert einfach einen R-m-1-Hom von Z -> Z*1 <= K, dabei ist die 1 das Einselement meines Koerpers. Und dann betrachte ich den Kern der Abb. (n-> n*1), also die n fuer die n*1 Null wird. Dann habe ich mich ein wenig mit der Char akteristik verhaspelt, weil ich die jetzt schon reinbringen wollte, obwohl die erst daraus definiert wird. Aber er hat mich in die richtige Bahn zurueckgelenkt, das ich doch den Kern untersuchen soll, und die Fallunterscheidung da machen, und nicht bei der Charakteristik. Ich also Kern = {0}: also Abb. bijektiv und damit Z =~ Bild, und isomorphe Ringe, haben isomorphe Quotientenkoerper (Beweis durch Konstruktion), also Fall Q. Falls der Kern nicht nur aus der Null besteht, so gibt es mindestens ein an deres Element, was auf die Null abgebildet wird. Davon nehme ich kleinstes und erhalte Zp, da es eine Primzahl sein muss, da Bild ein Int. Bereich, da Bild <=K und ich sonst Nullteiler in Zp haette. Er: Warum gibt es kein weiteres El. im Kern, das nicht durch n teilbar ist. Ich: Hmmm... Er: Wie zeigt man das denn? Ich: (Stand erst mal ein wenig auf dem Schlauch). Schrieb hin. m aus Kern, n teilt nicht m. Er: Und jetzt? Wie macht man das in der Grundschule. Ich: Ah, ggT bilden, um zu schauen, ob teilerfremd. Er: Darauf laeuft es hinaus, aber machen sie das mal viel einfacher. Schreiben Sie das einfach mal hin! Ich: m/n = a + r/n Er: Und wenn man jetzt mit n mult.? Ich: (endl. war der Groschen gefallen) m=an+r, mit r=0, oder r